МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ з курсу "Чисельні методи" для студентів базового напрямку 6.0802 "Прикладна математика" Затверджено на засіданні кафедри “Прикладна математика” Протокол № 7 від 22.04.2004 р. Львів 2004 Інтерполяція функцій: Методичні вказівки з курсу «Чисельні методи» для студентів базового напрямку 6.0802 «Прикладна математика»/ Укл.: М.В.Кутнів, Я.В.Пізюр. – Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2004.- 14 с. Укладачі Кутнів М.В., канд. фіз-мат. наук, доц., Пізюр Я.В., канд. фіз-мат. наук, доц. Відповідальний за випуск Мединський І.П., канд. фіз-мат. наук, доц. Рецензенти Гнатів Б.В., канд. фіз-мат. наук, доц., Бандирський Б.Й., канд. фіз-мат. наук, доц. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ §1. Постановка задачі наближення функції Найпростіша задача наближення функції полягає у наступному. В дискретні моменти часу
спостерігаються (відомі) значення функції
; необхідно знайти її значення при інших
. Інколи з деяких додаткових міркувань відомо, що функцію, яку потрібно наблизити, доцільно шукати у вигляді
. Якщо параметри
визначаються з умов
,
, де
– так звані вузли інтерполяції, то такий спосіб наближення називають інтерполяцією або інтерполюванням. Нехай
– найменше з чисел
– вузлів інтерполяції, а
– найбільше з них. Якщо точка, в якій обчислюється значення
лежить зовні
, то разом з терміном інтерполяція використовується термін екстраполяція. Якщо вузли інтерполяції вибрано далеко від екстраполяційної точки, то слабо використовується суттєва інформація про поведінку змінної. Найбільш часто використовується інтерполяція многочленами. Однак, це не єдино можливий тип інтерполяції. Інколи зручно наближати функцію тригонометричними функціями, а також раціональними функціями. §2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа Серед способів інтерполювання найбільш поширений випадок лінійного інтерполювання, коли наближення шукають у вигляді:
, де
– фіксовані функції, значення коефіцієнтів
визначаються з умов:
. (1) Метод розв’язування задачі, при якому коефіцієнти
визначаються безпосереднім розв’язування системи (1), називається методом неозначених коефіцієнтів. Найчастіше на практиці використовується інтерполяція многочленами:
, (2) тоді
і система рівнянь (1) має вигляд:
. (3) Припустимо, що всі
різні. Визначник цієї системи є визначником Вандермонда:
. Отже, система завжди має єдиний розв’язок. Таким чином, доведено існування та єдиність інтерполяційного многочлена (2). Безпосереднє знаходження коефіцієнтів за допомогою розв’язування цієї системи вже при порівняно невеликих
(
) призводить до великої обчислювальної похибки. Будемо шукати явне представлення інтерполяційного многочлена не розв’язуючи систему (3). Задача інтерполювання буде розв’язана, якщо побудувати многочлени
степеня не вище
такі, що:


. Тоді многочлен
(4) буде шуканим інтерполяційним многочленом. Дійсно,
. Крім того,
– многочлен степеня
. Многочлени
будемо шукати у вигляді:
, де
– неозначені коефіцієнти, які знайдемо з умови
Тоді
. Отже,
. Інтерполяційний многочлен, записаний у вигляді:
називають інтерполяційним многочленом Лагранжа. Існують інші форми запису цього ж інтерполяційного многочлена, наприклад, інтерполяційна формула Ньютона, яку ми будемо розглядати далі. §3. Розділені різниці. Інтерполяційна формула Ньютона За означенням розділена різниця нульового порядку
від функції
по одному вузлу
збігається з значенням функції
. Розділені різниці першого порядку визначаються рівністю:
, різниці другого порядку рівністю:
і т.д. Розділені різниці
-го порядку
визначаються через різниці
порядку за формулою:
. Лема. Справджується рівність
. Довед...